Экспериментальная часть

Элементарная физика

Лабораторная работа № 1

Методы измерения линейных размеров тел

Ульяновск, 2012

Цель работы: ознакомление с приемами измерения линейных величин и определение объема цилиндра, а также расчет погрешностей проведенных прямых и косвенных измерений.

Оборудование: 1. Измерительная линейка

2. Штангенциркуль

3. Микрометр

4. Цилиндр для измерения

Теория

Измерить какую-либо физическую величину значит сравнить ее с другой однородной ей физической величиной, принятой за единицу меры. За единицу меры длины, например, принят 1 метр, массы – 1 кг и др. При измерении физических величин пользуются, разумеется, не эталонами, которые хранятся в специальных государственных метрологических учреждениях, а измерительными приборами, которые тем или иным способом сверены с эталонами.

Различают два типа измерений: прямые и косвенные. При прямом измерении измеряемая величина сравнивается непосредственно со своей единицей меры. Например, измерение микрометром линейного размера, промежутка времени при помощи часовых механизмов, температуры — термометром, силы тока — амперметром и т.п. Значение измеряемой величины отсчитывается при этом по соответствующей шкале прибора.

При косвенном измерении измеряемая величина определяется (вычисляется) по результатам измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью. Например, измерение скорости по пройденному пути и затраченному времени, измерение плотности тела по измерению массы и объема, температуры при резании по электродвижущей силе, величины силы — по упругим деформациям и т.п.

При измерении любой физической величины производят проверку и установку соответствующего прибора, наблюдение их показаний и отсчет. При этом никогда истинного значения измеряемой величины не получить. Это объясняется тем, что измерительные средства основаны на определенном методе измерения, точность которого конечна. При изготовлении прибора задается класс точности. Его погрешность, называемая инструментальной, определяется точностью делений шкалы прибора. Для лабораторных измерительных приборов, не имеющих класса точности, за инструментальную погрешность можно принять половину цены деления шкалы прибора.

Кроме приборной (инструментальной) погрешности на результат измерения влияет еще ряд объективных и субъективных причин, обуславливающих появление ошибки измерения — разности между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины. Ошибка измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Исключение составляют измерения известных величин при определении точности измерительных приборов. Поэтому одной из важнейших задач математической обработки результатов эксперимента и является оценка истинного значения измеряемой величины по данным эксперимента с возможно меньшей ошибкой.

Кроме приборной погрешности измерения (определяемой методом измерения) существуют и другие, которые можно разделить на три типа:

1. Систематические погрешности обуславливаются постоянно действующими факторами, их величина при повторных измерениях остается постоянной (по величине и знаку) или изменяется по определенному закону. Например, смещение начальной точки отсчета, влияние нагревания тел на их удлинение, износ режущего лезвия и т.п. Систематические ошибки бывают постоянные и переменные. Появление первых обуславливается постоянно действующими причинами, например, дефектностью измерительной аппаратуры. Переменные систематические ошибки вызываются причинами, изменяющимися определенным и закономерным образом, например, равномерным изменением температуры. Можно либо исключить систематические ошибки, либо ввести в расчет соответствующие поправки, которые находят опытным путем.

2. Случайные ошибки содержат в своей основе много различных причин, каждая из которых не проявляет себя отчетливо. Случайную ошибку можно рассматривать как суммарный эффект действия многих факторов. Поэтому случайные ошибки при многократных измерениях получаются различными как по величине, так и по знаку. Их невозможно учесть как систематические, но можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины. Анализ случайных ошибок является важнейшим разделом математической обработки экспериментальных данных.

Различие между систематическими и случайными погрешностями не является абсолютным. При определенных условиях (например, в случае малости систематической погрешности) их можно смешать и рассматривать как случайные (рандомизация).

3. Грубые ошибки (промахи) появляются вследствие неправильного отсчета по шкале, неправильной записи, неверной установки условий эксперимента и т.п. Они легко выявляются при повторном проведении опытов.

загрузка…

В дальнейшем будем считать, что систематические и грубые ошибки из результатов эксперимента исключены.

Прямые однократные измерения

В лабораторных условиях часто приходится проводить однократные прямые измерения, погрешность которых связана, прежде всего, с основными погрешностями мер и измерительных приборов (инструментальные). Если при измерении указатель точно совпадает со штрихом шкалы измерительного прибора, то граница погрешности прямого измерения не превосходит основной погрешности прибора (указывается в паспорте). Если указатель прибора не совпадает со штрихом шкалы, тогда граница погрешности прямого измерения возрастает. В этом состоит причина погрешности отсчета.

При ширине деления шкалы не менее 1-2 мм границу погрешности отсчета можно принять равной половине деления.

При измерении возможно несколько ситуаций:

1) При измерении диаметра цилиндра методом

наложения с помощью миллиметровой измерительной линейки края цилиндра совпадают с сантиметровыми делениями 10 и 12 см. При этом нельзя принять измеряемую величину равной 20 мм. Ведь сами отметки на линейке имеют конечную ширину. В этом случае за абсолютную погрешность принято брать половину цены деления шкалы прибора, т.е. в данном случае 0,5 мм. Следовательно, диаметр цилиндра в этом случае равен d = (20,0 ± 0,5) мм. Принято измеряемую величину и абсолютную погрешность измерения записывать с одинаковым числом разрядов.

2) Пусть при повторных измерениях длины отрезка с помощью миллиметровой линейки получено 5 одинаковых результатов: ℓ1= ℓ2= ℓ3= ℓ4= ℓ5=13,4 мм. Однако, измерительная линейка с ценой деления 1 мм не позволяет измерить какую-либо величину с точностью менее 0,5 мм. В данном случае за абсолютную погрешность следует принять половину цены деления линейки. Длина отрезка равна ℓ = (13,4 ± 0,5) мм.

3) Измерение произведено один раз. За абсолютную погрешность также принимают половину цены деления прибора (инструментальную погрешность).

Методы измерения линейных размеров тел

Метод измерения представляет собой взаимодействие средств измерения с объектом и основан на физических явлениях, совокупность которых составляет принцип измерений.

В науке и технике для измерения линейных размеров тел используется множество приборов, обеспечивающих измерение с различной точностью. Измерения этими приборами осуществляется:

1. Методом наложения (масштабная линейка, отсчетные микроскоп).

2. Контактным методом (штангенциркуль, микрометр, сферометр).

3. Оптическим методом (катетометр, интерферометр).

Лине’йка — простейший измерительный геометрический инструмент, представляющий собой узкую пластину, у которой как минимум одна сторона прямая. Обычно линейка имеет нанесённые деления, кратные единице измерения длины (сантиметр, миллиметр), которые используются для измерения расстояний. При пользовании линейкой следует избегать следующих ошибок: 1) обусловленных параллаксом; 2) отсчета нуля; 3) из-за неточности калибровки.

Ученические и чертежные линейки с миллиметровыми делениями государственными стандартами не нормируются. Инструментальная погрешность у них достигает ± 0,1 мм. Допускаемая погрешность ± 1 мм.

Стальные (производственные) линейки имеют также деления, нанесенные через 1 мм. Допускаемая погрешность нормируется стандартом. У линеек длиной до 300 мм — ± 0,1 мм, до 500 мм — ± 0,15 мм, до 1000 мм — ± 0,2 мм.

При измерении масштабной линейкой и стальной линейкой с точностью до 1 мм инструментальной погрешностью можно пренебречь, приняв за основную погрешность ошибку отсчета (± 0,5 мм). При оценке десятых долей деления на глаз необходимо учитывать инструментальную погрешность линеек.

Если известно, что величина случайной ошибки меньше систематической (это обычно выполняется для линейки с делениями шкалы в 1 мм), то можно ограничиться одним измерением.

Измерение при помощи нониуса

Нониусом называется дополнение к основному масштабу, позволяющее повысить точность измерения с данным масштабом в 10 ÷ 20 раз, т.е. отсчитывать доли деления шкалы. Существуют линейные и круговые нониусы.

Линейным нониусом называют небольшую линейку, которая может перемещаться вдоль большой линейки, называемой основным масштабом.

На нониусе нанесено некоторое число n делений (обычно 10 или 20); цена деления нониуса находится в определенном соотношении к цене деления масштаба ;чаще всего, общая длина n делений нониуcа равна длине n-1 делений масштаба:

отсюда разность между длиной одного деления масштаба и одного деления нониуса:

, где есть точность нониуса, которая, как видно, определяется ценой деления масштаба и числом делений нониуса n.

Чтобы провести измерения с помощью нониуса, необходимо измеряемый объект L заключить между нулевыми делениями масштаба и нониуса.

Допустим, что нулевое деление нониуса отсекает k целых и часть k +1 деления масштаба, причем m -ое деление нониуса совпадает с некоторым делением масштаба, тогда измеряемая длина L равна числу целых делений масштаба, содержащихся в ней , сложенному с точностью нониуса умноженной на номер(m) его деления, совпа дающего с делениеммасштаба:

Очевидно, что ошибка при измерениях с нониусом не может превышать половины его точности.

На рисунке нониус (нижняя шкала) показывает 7 целых 6 десятых деления основной (верхней) шкалы. Целая часть обычно определяется по показаниям нулевого деления нониуса, а дробная часть определяется по номеру того деления нониуса, которое точно совпадает с делением основной шкалы (обведено пунктиром).

Приборы, в которых применяется линейный нониус: штангенциркуль, микрометр, катетометр (применяется для измерения расстояний между двумя точками по вертикальному направлению).

Штангенциркуль — универсальный инструмент, предназначенный для высокоточных измерений наружных и внутренних размеров, а также глубин и диаметра отверстий контактным методом (см. Приложение 2).

Устройство штангенциркуля:

1. штанга;

2. подвижная рамка;

3. шкала штанги;

4. губки для внутренних измерений;

5. губки для наружных измерений;

6. линейка глубиномера;

7. нониус;

8. винт для зажима рамки.

Чтобы определить размер, показываемый штангенциркулем, необходимо:

1) установить, какое деление штанги прошло нулевое деление нониуса;

2) определить, какое деление нониуса точно совпадает с делением штанги;

3) сложить результаты двух отсчетов.

Например (см. рисунок):

Смотрим шаг нониуса — 0,1 мм. Первая его насечка стоит правее 2 см.

Округляем до целых — 2 см (= 20 мм.)

Далее смотрим, какая насечка нониуса совпадает со шкалой штанги.

Совпадает пятая насечка, значит 5 х 0,1 мм = 0,5 мм.

Складываем с целой частью, получаем размер 20,5 мм.

ГОСТом нормирована допускаемая погрешность для штангенциркулей в зависимости от размера прибора:

Предел измерения Допускаемая погрешность
200 мм
300 мм
± 0,5 мм
± 1 мм

Микрометр — (от слов микро и метр) является измерительным прибором, предназначенным для измерений с высокой точностью (до 2 мкм) для деталей малых размеров, преобразовательным механизмом которого является микропара винт — гайка. Микрометр применяют для измерения линейных размеров контактным методом.


шкала
нониус
А
В
С

Микрометр состоит из двух основных частей: скоба В и микрометрический винт А. Микрометрический винт проходит через отверстия скобы с внутренней резьбой, против микрометрического винта на скобе имеется упор. На винте закреплен полый цилиндр (барабан) с делениями по окружности (С). При вращении винта барабан скользит по линейной шкале, нанесенной на стебле.

Для того, чтобы микрометрический винт А передвинулся на 1 мм, необходимо сделать два оборота барабана С. Таким образом, шаг винта равен 0,5 мм.

Проведение измерений.

1. Предмет устанавливается между пяткой и микрометрическим винтом, при этом, вращая барабан, устанавливают шпиндель на приблизительно-близком размере предмета.

2. Шпиндель осторожно приближают до соприкосновения с измеряемым предметом;

3. Замеряем размер при помощи нониуса барабана в мм, который соответствует горизонтальному указательному штриху шкалы стебля;

4. Определяем общий размер замеряемого объекта.

Замечание: При контакте с измеряемым предметом не производите поджим шпинделя

вращением гильзы барабана от руки, это может привести к поломке микрометра. Для более точного определения размеров убедитесь в том, чтобы предмет был хорошо закреплен.

В нашем примере на шкале стебля установлен размер 8,5 мм.

Круговая шкала барабана поделена на 50 частей, которые соответствуют 0,01 мм.

Если барабан повернется дальше на одно деление, то шпиндель продвинется продольно на 0,01 мм.

В приведенном примере нониус барабана стоит на делении 27/100 = 0,27 мм, совпадающим с горизонтальным указательным штрихом шкалы стебля.

Общий размер замеряемого изделия, таким образом, будет равен: 8,5 мм + 0,27 мм = 8,77 мм.

ГОСТом для микрометра с пределом измерения 25 мм и ценой деления 0,01 мм допускаемая приборная погрешность нормирована ± 0,002 мм. При отсчете с округлением до половины деления шкалы погрешность отсчета принимается равной ± 0,005 мм.

Круговые нониусы – (угловые) являются круговой линейкой, скользящей вдоль лимба. Используются в оптических приборах и представляют собой круг, разделенный на градусы и доли градуса. Для определения точности кругового нониуса необходимо цену наименьшего деления основного масштаба разделить на число делений нониуса.

Экспериментальная часть

Задание 1. Определить линейные размеры цилиндра с помощью ученической линейки.

Линейка i, мм ∆ℓi, мм
Ср.зн.

1. Подготовить таблицу.

2. Занести в таблицу сведения об измерительном инструменте (предел измерения, цена деления, допускаемая погрешность).

3. Провести измерение длины исследуемого цилиндра 5 раз методом наложения. Результаты занести в таблицу.

4. Оценить границы абсолютной и относительной погрешности прямого измерения. Возможен вариант, когда повторные измерения оказались одинаковыми – см. с. 2 пункт 2). Если результаты измерений не совпадают – см. приложение 1. Сделайте вывод. Возможны ли в данном случае однократные измерения?

5. Результаты расчетов, оценок, выводы занести в рабочую тетрадь.

Задание 2. Определить линейные размеры цилиндра с помощью штангенциркуля.

1. Подготовить таблицу, аналогичную таблице задания 1 , но для 10 измерений.

2. Проверить совпадение нуля нониуса и масштаба штангенциркуля – (если он сбит – оценить систематическую погрешность).

3. Занести в таблицу сведения об измерительном инструменте (длина масштаба, цена деления масштаба, количество делений нониуса, точность нониуса, класс точности прибора, допускаемая погрешность).

4. Провести измерение длины исследуемого цилиндра 10 раз. Результаты занести в таблицу.

5. Если повторные измерения дали одинаковый результат, то за границу абсолютной погрешности следует принять инструментальную погрешность штангенциркуля (точность нониуса). Оценить границы относительной погрешности. Сделать вывод о том, наблюдается ли разброс значений измеряемой величины и, соответственно, имеется ли какое-либо их распределение. Возможны ли в такой ситуации однократные измерения?

6. Если повторные измерения отличаются, провести оценку случайных погрешностей (см. приложение 2).

7. Сравнить полученные результаты с результатами задания 1. Сделайте выводы. Изменился ли доверительный интервал при переходе от измерений с помощью линейки к измерениям штангенциркулем?

Задание 3. Определить линейные размеры цилиндра с помощью микрометра.

1. Подготовить таблицу, аналогичную таблице задания 1 , но для 10 измерений.

2. 2. Проверить установку нуля микрометра (если он сбит, оценить систематическую погрешность. Если она больше 0,01 мм, то ввести поправку на окончательный результат).

3. Занести в таблицу сведения об измерительном инструменте (длина масштаба, цена деления масштаба, количество делений нониуса, точность нониуса, класс точности прибора, допускаемая погрешность).

4. Провести измерение длины исследуемого цилиндра 10 раз. Результаты занести в таблицу.

5. Если результаты повторных измерений не совпадают в данной выборке из 10 опытов, то следует оценить распределение их вероятностей. Для этого нужно построить гистограмму (см. приложение 1).

6. Провести оценку случайных погрешностей, полученных при многократных измерениях цилиндра. Для этого:

1) Вычислить среднее арифметическое по результатам измерений (n – число измерений):

2) Найти отклонение текущего измерения от среднего: ∆ℓi = ℓi

3) Вычислить квадрат отклонений результатов измерений от среднего (∆ℓi)2.

4) Вычислить стандартную погрешность (среднеквадратичное от среднего):

5) Задать коэффициент надежности (например, a = 0,95).

6) Найти по таблице коэффициент Стьюдента tna (для данного количества измерений и при заданном коэффициенте надежности)

7) Оценить границы доверительного интервала:

∆ℓ = — tna

Сравнить ∆ℓ с приборной погрешностью инструмента.

8) Записать результат измерений в виде: ℓ = ± Dℓ.

9) Оценить относительную погрешность измерения длины:

e = (D ℓ/ )-100 %

10) Провести «грубую» оценку результатов измерений. Для этого найти среднее арифметическое максимального и минимального результатов измерений:

Сравнить со средним арифметическим всех результатов (пункт 6.1)).

Грубая оценка погрешности

; ℓизм = ± .

7. Сравнить результаты 1,2,3 заданий. Сделать выводы. Сравнить доверительные интервалы (границы) при измерении одной и той же физической величины (длины) инструментами различной точности.

Задание 4. Определение объема тела цилиндрической формы.

1. Определить линейные размеры цилиндра (высоту, диаметр) с помощью следующих инструментов:

1) миллиметровой линейки микрометра

2) штангенциркуля и микрометра

3) линейки и штангенциркуля

4) линейки и микрометра

Измерения провести в разных местах. Вычислить стандартную погрешность, границы доверительного интервала, приняв a= 0,95. Результаты представить в виде таблиц по образцу:

1) миллиметровая линейка

Di, мм ∆Di, мм (∆Di)2, мм2 Hi, мм ∆Нi, мм (∆Нi)2, мм2
Ср.зн.

Представить окончательный результат в виде: D = ± DD, Н = ± DН

Найти относительную погрешность измерения D и Н – ε, %.

Если повторные измерения совпадают, то погрешности измерений будут связаны с инструментальной погрешностью, погрешностью метода, погрешности возрастают из-за свойств измеряемого объекта.

2. Вычислить объем цилиндра по формуле:

Для вычислений взять результаты прямых измерений (п. 1) по одному из вариантов. Заполнить таблицу:

D, мм ∆D, мм εD, % H, мм ∆H, м εH, % V, мм3 ∆V, мм3

3. Провести оценку погрешностей косвенных измерений объема цилиндра. Для этого получить формулу для расчета дифференциальным методом (или логарифмическим). Какой вариант выгоднее в данном случае? Представить результат в виде:

V = Vпо формуле ± ∆V

4. Сделать выводы. Сравнить вклад погрешностей прямых измерений в погрешность определения объема цилиндра.

5. Ответить на контрольные вопросы:

1) Как устроен нониус? Чему равна точность нониуса?

2) Как производятся измерения штангенциркулем?

3) Как производятся измерения микрометром?

4) Определить показания прибора на рисунках а), б), в).

5) Виды измерений и причины погрешностей.

6) Классификация погрешностей.

7) Правила обработки измерений и оценки погрешностей при:

а) однократных прямых измерениях

б) многократных прямых измерениях (случайные погрешности)

в) косвенных измерениях.

8) Выберите правильно записанные равенства и исправьте неверные:

L= 4,45 ± 0,4; L= 5,71 ± 0,15; L= 6,8 ± 0,03; L= 705,8 ± 70

9) Найдите относительную погрешность измерения длины стены при помощи рулетки с ценой деления 0,5см. Измеренная величина составила 4,66м.

10) При расчете величины коэффициента трения по данным измерений получены значения μср = 0,7823735 и Δμ = 0,03348. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление.

11) Что такое «коэффициент надежности»?

12) Измерение длины ребра куба L имело погрешность ΔL. Напишите формулу для определения относительной погрешности объема куба по результатам этих измерений.

13) В серии из 5 измерений периода колебаний маятника получились следующие значения: 2,12 с, 2,10 с, 2,11 с, 2,14 с, 2,13 с. Найдите абсолютную случайную погрешность определения периода по этим данным.

14) Опыт падения груза с некоторой высоты повторяли 6 раз. При этом получались следующие величины времени падения груза: 38,0 с, 37,6 с, 37,9 с, 37,4 с, 37,5 с, 37,7 с. Найдите относительную погрешность определения времени падения.

Литература: Фетисов В.А. Оценка точности измерений в курсе физики средней школы. М.: Просвещение, 1991.

Приложение 1

Пример обработки результатов прямых измерений.

Определение массы тела.

В результате измерений массы тела получены результаты:

m, г Общее число измерений, N Повторяемость результата в выборке, m = k/N Доля результатов в выборке
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
10,1
10,1
10,3
10,2
10,2
10,3
10,1
10,2
10,4
10,0
10,2
10,2
10,0 – 10,1 – 1
10,1 – 10,2 – 3
10,2 – 10,3 – 5 ∆m = 0,1 г
10,3 – 10,4 – 2
10,4 – 10,5 – 1

10,0 – 10,2 – 4
10,2 – 10,4 – 6 ∆m = 0,2 г
10,4 – 10,6 – 1

1/12 ≈ 0,08
3/12 ≈ 0,25
5/12 ≈ 0,42
2/12 ≈ 0,17
1/12 ≈ 0,08

4/12 ≈ 0,33
6/12 ≈ 0,49
1/12 ≈ 0,08

СЗ 10,2

Для построения гистограммы все данные измерений нужно разбить на несколько групп, имеющих равные интервалы, например, 0,1 г или 0,2 г. Для каждого интервала определить отношение числа результатов к числу всех измерений (частота повторений результата в выборке) или просто их количество. На горизонтальной оси участок прямой, отвечающий крайним значениям измеряемой массы, разобьем на ряд равных интервалов, и на каждом из них построим прямоугольник с высотой, равной числу повторяющихся результатов.

m, г
10,5
10,4
10,3
10,2
10,1
10,0
а)
m
m, г
10,4
10,2
10,0
б)
m
10,6

Если построить огибающую всех прямоугольников, то получится сглаженная гистограмма (рис. а).

Можно изменить интервал до 0,2 г и построить гистограмму аналогичным образом (рис. б).

Если увеличить количество измерений, а величину интервала уменьшить, то гистограмма стремится перейти в плавную линию (в отдельных случаях она приближается к кривой Гаусса).

Можно сделать вторую серию измерений данной физической величины и получить такое же количество результатов. Они могут отличаться от результатов первой выборки. Результаты третьей аналогичной выборки также могут не совпадать с первыми двумя. Это означает, что сами выборки являются случайными из генеральной совокупности данных и подчиняются некоторому распределению вероятностей. С увеличением числа измерений удается сузить доверительный интервал и повысить точность измерений. При неограниченном увеличении числа измерений и количества случайных выборок можно прийти к генеральной совокупности данных.

Рассчитаем погрешности прямых измерений:

m, г ∆mi, г (∆mi)2, г2
10,1 — 0,1 0,01
10,1 — 0,1 0,01
10,3 + 0,1 0,01
10,2
10,2
10,3 + 0,1 0,01
10,1 — 0,1 0,01
10,2
10,4 + 0,2 0,04
10,0 — 0,2 0,04
10,2
10,2
СЗ 10,2

Вычислим среднее квадратичное среднего:

(г)

при n = 12, a = 0,9 tna = 1,8

Определим границы доверительного интервала: ∆m = 1,8-0,03 = 0,056 ≈ 0,06 ≈ 0,1 (г)

Т.о. результат измерений можно представить так:

m = (10,2 ± 0,1) г

ε = (0,1/10,2)-100% ≈ 1%

Приложение 2


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *